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求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點且面積最小的圓的方程.

思路解析：圓的面積最小，實際是圓的半徑最小.

解法一：設所求圓的方程為x2+y2+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0,

即x2+y2+2（λ+1）x+（λ-4）y+4λ+1=0.

∴圓的半徑r==.

當λ=時，r最小即此時圓的面積最小.

當λ=時，所求圓的方程為x2+y2+x-y+=0.

解法二：當直線與圓的交點為直徑的兩端點時即圓心在直線2x+y+4=0上時圓的面積最小.

設所求圓的方程為x2+y2+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0,

即x2+y2+2（λ+1）x+（λ-4）y+4λ+1=0.

其圓心坐標為(-λ-1，-).

當圓心在直線2x+y+4=0上時有2（-λ-1）+(-)+4=0.

∴λ=，代入方程,得x2+y2+x-y+=0即為所求.

深化升華

    解法二抓住過直線這一特點，結合平面幾何的有關知識，明確了直線過圓心時，所求圓的半徑最小.在解決與圓有關問題時，一定要注意結合平面幾何知識，以簡化運算思維過程.


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點，且滿足下列條件之一的圓的方程：
（1）過原點；        
（2）有最小面積．

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