Question

角α的頂點在坐標(biāo)原點O，始邊在y軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第三象限內(nèi)的點P，且tanα=-

3

4

；角β的頂點在坐標(biāo)原點O，始邊在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點Q，且tanβ=-2．對于下列結(jié)論：
①P（-

3

5

，-

4

5

）；
②|PQ|²=

10+2 5

5

；
③cos∠POQ=-

3

5

；
④△POQ的面積為

5

5

，
其中正確結(jié)論的編號是（　�。�

• A、①②③④
• B、②③④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考點：三角函數(shù)線,單位圓與周期性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用誘導(dǎo)公式得到OP所對應(yīng)的角，結(jié)合平方關(guān)系求解

π

2

+α的正余弦值得答案，判斷命題①；求出Q的坐標(biāo)，由兩點間的距離公式計算|PQ|²，然后判斷真假；把兩角差的余弦用誘導(dǎo)公式化為正弦，展開后計算得答案，再判斷真假；直接由面積公式求值，然后判斷真假，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，可設(shè)α、β為鈍角，如圖，由tanα=-

3

4

，得cot（

π

2

+α）=

3

4

，
可得

π

2

+α∈（π，

3π

2

），∴cos（

π

2

+α）=-

3

5

，sin（

π

2

+α）=-

4

5

，
故 P（-

3

5

，-

4

5

），故①正確．
由tanβ=-2，可得sinβ=

2 5

5

，cosβ=-

5

5

，
∴Q（-

5

5

，

2 5

5

），∴|PQ|²=(-

5

5

+

3

5

)2+(

2 5

5

+

4

5

)2=

10+2 5

5

，
故②正確．
對于③，cos∠POQ=cos（

π

2

+α-β）=-sin（α-β）
=-sinαcosβ+cosαsinβ=-

3

5

×（-

5

5

）+（-

4

5

）×

2 5

5

=-

5

5

，故命題③錯誤．
由③得：sin∠POQ=

2 5

5

，∴△POQ的面積為

1

2

•OP•OQ•sin∠POQ=

1

2

×1×1×

2 5

5

=

5

5

，
故④正確．
∴正確的命題是①②④．
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)線，訓(xùn)練了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的用法，是中檔題．