Question

已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，求

PA

•

PB

的最小值．

Answer 1

分析：設(shè)PA=PB=x（x＞0），∠APO=α，則∠APB=2α，PO=

1+x2

，sinα=

1

1+x2

，計算 

PA

•

PB

=

(x2+1)2-3(x2+1)+2

x2+1

，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答：解：如圖所示：設(shè)PA=PB=x（x＞0），∠APO=α，則∠APB=2α，PO=

1+x2

，sinα=

1

1+x2

，
∴

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|cos2α=x²（1-2sin²α）=

x2(x2-1)

x2+1

=

x4-x2

x2+1

 
=

(x2+1)2-3(x2+1)+2

x2+1

=（x²+1）-3+

2

x2+1

≥2

2

-3，
當且僅當x²+1=

2

x2+1

，即 x=

2 -1

時，等號成立，
故

PA

•

PB

的最小值為-3+2

2

，此時，x=

2 -1

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量的定義和兩個向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．