Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象C關(guān)于原點對稱，且x=1時，f（x）取極小值-

2

3

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[-2，3]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點對稱，知對任意實數(shù)x有f（-x）=-f（x），由此能求出f（x）的解析式．
（2）由f'（x）=x²-1，令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，列表討論，能求出當x∈[-2，3]時，函數(shù)f（x）的最大值．

解答：解． （1）∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點對稱，
∴對任意實數(shù)x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立∴b=0，d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
∵x=1時，f（x）取極小值-

2

3

，
∴3a+c=0且a+c=-

2

3

，
解得a=

1

3

，c=-1，
∴f(x)=

1

3

x3-x．
（2）∵f'（x）=x²-1，
令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，
列表討論：

x	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，3）
fn（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值 2 3	↓	極小值- 2 3	↑

又f(-2)=-

2

3

，f（3）=6，
故當x=3時，f_max=6．

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．