Question

如圖，“楊輝三角”中從上往下數(shù)共有n（n＞7，n∈N）行，設(shè)其第k（k≤n，k∈N^*）行中不是1的數(shù)字之和為a_k，由a₁，a₂，a₃，…組成的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n現(xiàn)有下面四個(gè)結(jié)論：①a₈=254；②a_n=a_n-1+2n；③S₃=22；④S_n=2ⁿ⁺¹-2-2n．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（　�。�

A．①④

B．②④

C．④

D．①②③④

Answer 1

分析：①由題意可得，第8行中的數(shù)為C₈⁰，C₈¹，C₈²，…C₈⁸，則a₈=C₈¹+…+C₈⁷=2⁸-2，計(jì)算可判斷①
②由題意可得，a_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ-2=2ⁿ-2，a_n-1=C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1=2^n-1-2則，代入可檢驗(yàn)②
③由題意可得，S₃=a₁+a₂+a₃=0+2+6，從而可判斷③
④S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2¹-2）+（2²-2）+…+（2ⁿ-1）-1，利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式可判斷④

解答：解：①由題意可得，第8行中的數(shù)為C₈⁰，C₈¹，C₈²，…C₈⁸，則a₈=C₈¹+…+C₈⁷=2⁸-2=254，故①正確
②由題意可得，a_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ-2=2ⁿ-2，a_n-1=C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1=2^n-1-2則a_n-1+2n=2^n-1+2n≠2ⁿ，故②錯(cuò)誤
③由題意可得，S₃=a₁+a₂+a₃=0+2+6=8，故③錯(cuò)誤
④S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2¹-2）+（2²-2）+…+（2ⁿ-1）-1=（2¹+2²+…+2ⁿ）-2n=

2(1-2n)

1-2

-2n=2ⁿ⁺¹-2n-2，故④正確
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查 了由楊輝三角求解數(shù)列的和，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題目中的定義合理準(zhǔn)確的進(jìn)行求解．