Question

已知函數(shù)f（x）=x，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n+1）（n∈N⁺）
（Ⅰ）求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式mx²-1≥f（x）（x＜0）能成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件結(jié)合函數(shù)表達(dá)式，得

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和．
（Ⅱ）原題等價(jià)于mx²-x-1≥0在（-∞，0）內(nèi)有解，由此利用m=0、m＞0、m＜0三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解的情況能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n+1）（n∈N⁺），
∴a_n=n+1，
∴

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和：
S_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．
（Ⅱ）∵關(guān)于x的不等式mx²-1≥f（x）（x＜0）能成立，
∴mx²-x-1≥0在（-∞，0）內(nèi)有解，
當(dāng)m=0時(shí)，-x-1≥0，解得x≤-1，成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，解方程mx²-x-1=0，得x₁=

1- 1+4m

2m

，x₂=

1+ 1+4m

2

，
∴mx²-x-1≥0的解集為x≥

1+ 1+4m

2m

或x≤

1- 1+4m

2m

，成立；
當(dāng)m＜0時(shí)，由△=1+4m＞0，得-

1

4

＜m＜0，
解方程mx²-x-1=0，得x₁=

1- 1+4m

2m

＞0，x₂=

1+ 1+4m

2

＞0，
∴mx²-x-1≥0的解集為

1- 1+4m

2m

＜x＜

1+ 1+4m

2

，在x＜0內(nèi)無(wú)解，不成立．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≥0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂基求和法和一元二次不等式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．