Question

(本小題滿分16分)
已知數(shù)列，，且滿足（）.
（1）若，求數(shù)列的通項公式；
（2）若，且.記，求證：數(shù)列為常數(shù)列；
（3）若，且.若數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，求首項應(yīng)滿足的條件.

Answer 1

（1）數(shù)列的通項為. （2）見解析；
（3）當(dāng)時，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.

本試題主要是考查了數(shù)列的通項公式的求解，以及數(shù)列的概念和數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用。
（1）當(dāng)時，有累加法得到
 
，也滿足上式，
所以數(shù)列的通項為.
（2）因為，
所以對任意的有，
所以數(shù)列是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列
進(jìn)而證明為常數(shù)列
（3）因為，且，所以，
且對任意的，有，  
設(shè)，（其中為常數(shù)且），所以

，
所以數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.記，構(gòu)造新數(shù)列來分析周期性和最值問題。
（1）當(dāng)時，有
 ……………………1分
，也滿足上式，
所以數(shù)列的通項為. ………………………………………………………3分
（2）因為，
所以對任意的有，
所以數(shù)列是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列……………………………………………………5分
又因為，所以
所以

，
所以數(shù)列為常數(shù)列. ……………………………………………………………………7分
（3）因為，且，所以，
且對任意的，有，  
設(shè)，（其中為常數(shù)且），所以

，
所以數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.……………………………………………10分
記，則，
（其中，為中的一個常數(shù)），
當(dāng)時，對任意的有；…………………………………………12分
當(dāng)時，
 
①若，則對任意的有，數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列；
②若，則對任意的有，數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列；
綜上，當(dāng)時，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次……………14分
當(dāng)時，符合要求；當(dāng)時，符合要求，此時的；
當(dāng)時，符合要求，此時的；
當(dāng)時，符合要求，此時的；
當(dāng)時，符合要求，此時的；
當(dāng)時，符合要求，此時的；
即當(dāng)時，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.………………………16分