Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BC=BB₁=8，M，N分別為BC，CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BN⊥AB₁；
（2）求AC₁與平面AMB₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以M為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系分別求出BN與AB₁的方向向量，判斷兩個(gè)向量數(shù)量積是否為0，即可得到BN⊥AB₁；
（2）求出AC₁的方向向量及平面AMB₁的法向量，代入向量夾角公式，即可得到AC₁與平面AMB₁所成角的正弦值

解答：解：∵AB=AC，M為BC的中點(diǎn)．
∴AM⊥BC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱
∴AM⊥平面B₁C
取B₁C₁中點(diǎn)P，連接MP
以M為原點(diǎn)，MB，MP，MA方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，
∵AB=AC=5，BC=BB₁=8，M，N分別為BC，CC₁的中點(diǎn)，
且AM=

AB2-BM2

=3
∴M（0，，0，0），A（0，0，3），B（4，0，0），C（-4，0，0），N（-4，4，0），C₁（-4，8，0），B₁（4，8，0）
（1）

BN

=（-8，4，0），

AB1

=（4，8，-3），
∴

BN

•

AB1

=0
即BN⊥AB₁；
（2）由（1）知

BN

=（-8，4，0）是平面AMB₁的一個(gè)法向量
又∵

AC1

=（-4，8，-3）
設(shè)AC₁與平面AMB₁所成角為θ
則sinθ=

| AC1 • BN |

| AC1 |•| BN |

=

16 445

445

即AC₁與平面AMB₁所成角的正弦值為

16 445

445

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求直線(xiàn)與平面的夾角，其中建立空間坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線(xiàn)的方向向量和平面法向量的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵．