Question

已知在（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列；
（1）求n；
（2）求展開式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求出n．（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求有理項(xiàng)．

解答：解：（1）（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=

C

k n

(

x

)n-k(

1

2 4 x

)k=

C

k n

(

1

2

)kx

2n-3k

4

，
所以前三項(xiàng)的系數(shù)分別為

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，
因?yàn)榍叭��?xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列；
所以

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2×

1

2

C

1 n

=

C

1 n

，解得n=1或n=8，當(dāng)n=1時(shí)不合題意應(yīng)舍去，故n=8．（6分）
（2）當(dāng)n=8時(shí)，Tk+1=

C

k 8

(

x

)8-k(

1

2 4 x

)k=

C

k 8

(

1

2

)kx

16-3k

4

，若展開式為有理式，
則

16-3k

4

∈N，所以k應(yīng)是4的倍數(shù)，故k可為0、4、8，
故所有有理項(xiàng)為：T1=x4，T5=

35

8

x，T9=

1

256x2

．                                     （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，要求熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．