Question

已知正四棱柱中，.
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）（3）存在，

試題分析：（1）可證平面，從而可得。（2）（空間向量法）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。根據(jù)邊長可得各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得各向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0可求平面的法向量，由（1）知平面，所以即為平面的法向量，先求兩法向量所成角的余弦值，但應(yīng)注意兩法向量所成的角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)，觀察可知此二面角為鈍角，所以此二面角的余弦值應(yīng)為負(fù)數(shù)。（3）設(shè)為線段上一點(diǎn),且，根據(jù)向量共線，可用表示出點(diǎn)坐標(biāo)。分別求兩個面的法向量，兩面垂直，則兩法向量也垂直，即數(shù)量積為0，從而可得的值，若所得在內(nèi)說明存在點(diǎn)滿足條件，否則說明不存在。
證明：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051225799787.png" style="vertical-align:middle;" />為正四棱柱，
所以平面，且為正方形.                   1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051226563413.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以.                                   2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051226626621.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以平面.                                      3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051226672478.png" style="vertical-align:middle;" />平面,
所以.                                           4分
（2）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則

               5分
所以.                       
設(shè)平面的法向量.
所以 .即  6分
令，則.
所以.
由（1）可知平面的法向量為.                  7分
所以.                           8分
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051225861611.png" style="vertical-align:middle;" />為鈍二面角，
所以二面角的余弦值為.                     9分
（3）設(shè)為線段上一點(diǎn),且.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240512271401447.png" style="vertical-align:middle;" />.
所以.                 10分
即.
所以.                                    11分
設(shè)平面的法向量.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240512272811342.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以 .即.                     12分
令，則.
所以.                                     13分
若平面平面，則.
即，解得.
所以當(dāng)時，平面平面.                14分