Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²-ax-a，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（III）當a=1時，設函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]（t∈[-3，-1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，1]上的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），又a＞0，
∴當x＜-1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當-1＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞a時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
所以f（x）的單調增區(qū)間為：（-∞，-1），（a，+∞）；單調減區(qū)間為：（-1，a）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在區(qū)間（-2，-1）內單調遞增，在區(qū)間（-1，0）內單調遞減，
從而函數(shù)f（x）在（-2，0）內恰有兩個零點當且僅當，解得0＜a＜．
所以a的取值范圍是（0，）．
（Ⅲ）a=1時，f（x）=．由（Ⅰ）知f（x）在[-3，-1]上單調遞增，在[-1，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增．
（1）當t∈[-3，-2]時，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調遞增，在[-1，t+3]上單調遞減，
因此，f（x）在[t，t+3]上的最大值M（t）=f（-1）=-，而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者．
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，當t∈[-3，-2]時，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）．
而f（t）在[-3，-2]上單調遞增，因此f（t）≤f（-2）=-．所以g（t）在[-3，-2]上的最小值為g（-2）=--=．
（2）當t∈[-2，-1]時，t+3∈[1，2]，且-1，1∈[t，t+3]．下面比較f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大�。�
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上單調遞增，有f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）．
又由f（1）=f（-2）=-，f（-1）=f（2）=-，從而M（t）=f（-1）=-，m（t）=f（1）=-．
所以g（t）=M（t）-m（t）=．
綜上，函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值為．
分析：（Ⅰ）由導數(shù)與函數(shù)單調性的關系解不等式即可；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內恰有兩個零點，即其圖象在（-2，0）內與x軸有兩個交點，結合圖象可得出f（-2）、f（0）及極值符號，從而可求出a的范圍；
（Ⅲ）先求出M（t），m（t），再求出g（t），從而可求得g（t）在[-3，-1]上最小值，其間需要根據(jù)極點-1，1所在區(qū)間情況分類討論．
點評：本題考查了應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、零點以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，同時考查分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數(shù)學思想．