Question

20．（本小題共13分）

對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列

．

對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列；

又定義．

設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．

（Ⅰ）如果數(shù)列為5，3，2，寫出數(shù)列；

（Ⅱ）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；

（Ⅲ）證明對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略。

解析:

（Ⅰ），

，

；

，

．

（Ⅱ）證明設(shè)每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列為，

則為，，，，，

從而

．

又，

所以

，

故．

（Ⅲ）證明設(shè)是每項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列．

當(dāng)存在，使得時(shí)，交換數(shù)列的第項(xiàng)與第項(xiàng)得到數(shù)列，

則．

當(dāng)存在，使得時(shí)，若記數(shù)列為，

則．

所以．

從而對(duì)于任意給定的數(shù)列，由

可知．

又由（Ⅱ）可知，所以．

即對(duì)于，要么有，要么有．

因?yàn)?img width=42 height=24 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/42/234642.gif">是大于2的整數(shù)，所以經(jīng)過有限步后，必有．

即存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，