【題目】、均為正整數(shù),且,為一素?cái)?shù),、、進(jìn)制表示分別為,其中,.證明:

(1)若,且對(duì)整數(shù) 均有,則,其中,表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù).

(2) ,其中,表示集合A中元素的個(gè)數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)注意到,.

于是,.

.

.

(1),且,則記.

為例,易得.

一般地,關(guān)于不難得出公式:.

由(1)得.

.則.

先介紹兩個(gè)引理.

引理1 ,其中,.

引理1的證明 事實(shí)上,由

.

引理2 若存在整數(shù),有

,則存在整數(shù) ,有

引理2的證明 由,即.

又由,得

.

于是,.

因?yàn)?/span>,所以,.

.

從而,.

,則,即.

,則.

,

.

于是,.

所以,,即.

否則,

由于,從而,一定存在整數(shù)使得,即.

回到原題.

相對(duì)于進(jìn)制表示,稱(chēng)中的一段是長(zhǎng)度為的一個(gè)“下移端”,記為.

顯然,.

從而,,即為引理2的條件.

因此,當(dāng)時(shí),若,則,存在另一個(gè)下移段.

由上述討論,知若中有個(gè),則中存在個(gè)下移段 .

當(dāng)時(shí),顯然,,且.

當(dāng)時(shí),,仍有.

上述兩種情形均有.

由引理1及(1)知.

對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),由引理1知

.

綜上,即得

.

.則.

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有天池盆測(cè)雨題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水,天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)(

A.2B.3C.4D.5

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分組

頻數(shù)

20

20

50

10

1)用分層抽樣的方法從身高在的女生中共抽取6人,則身高在內(nèi)的女生應(yīng)抽取幾人?

2)在(1)中抽取的6人中,再隨機(jī)抽取2人,求這2人身高都在內(nèi)的概率.

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為正方形,平面平面ABCD,,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).

(1)求證:平面ABCD

(2)求證:平面PCD;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列說(shuō)法正確的是( )

A.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等,則此棱錐可能是六棱錐

B.四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形

C.有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)

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【題目】2018年國(guó)際山地旅游大會(huì)于10月14日在貴州召開(kāi),據(jù)統(tǒng)計(jì)有來(lái)自全世界的4000名女性和6000名男性徒步愛(ài)好者參與徒步運(yùn)動(dòng),其中抵達(dá)終點(diǎn)的女性與男性徒步愛(ài)好者分別為1000名和2000名,抵達(dá)終點(diǎn)的徒步愛(ài)好者可獲得紀(jì)念品一份。若記者隨機(jī)電話(huà)采訪(fǎng)參與本次徒步運(yùn)動(dòng)的1名女性和1名男性徒步愛(ài)好者,其中恰好有1名徒步愛(ài)好者獲得紀(jì)念品的概率是( )

A. B. C. D.

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1)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過(guò)m

不超過(guò)m

總計(jì)

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

總計(jì)

2)根據(jù)(1)中的列聯(lián)表,能否有的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

附:

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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