【題目】已知指數(shù)函數(shù)yg(x)滿足:g(3)=8,定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).

(1)確定yf(x)yg(x)的解析式;

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義證明;

(3)若對于任意x∈[-5,-1],都有f(1-x)+f(1-2x)>0成立,求x的取值范圍.

【答案】(1)f(x)=,g(x)=2x;(2)見解析;(3)[2,3].

【解析】

(1)由題意可設,代入條件可得函數(shù)解析式從而得f(x);

(2)任取x1,x2Rx1<x2,化簡f(x1)f(x2)0比較大小即可得單調(diào)性;

(3)由函數(shù)為奇函數(shù)可得f(1x)>f(2x1),,結合單調(diào)性和定義域可得,從而得解.

(1)

g(3)=a3=8,∴a=2,∴g(x)=2x,

f(x)=,

f(x)是奇函數(shù),f(-1)+f(1)=0,解得m=2.

經(jīng)檢驗,當m=2時,f(x)=為奇函數(shù),

f(x)=;

(2)任取x1x2R,x1<x2,

f(x1)-f(x2)=.

x1<x2,

∴2x2-2x1>0,

∵1+2x1>0,1+2x2>0,

f(x1)-f(x2)>0,

f(x1)>f(x2),

f(x)是定義在R上的減函數(shù);

(3)∵f(1-x)+f(1-2x)>0,且f(x)為奇函數(shù),

f(1-x)>f(2x-1),

,

解得2≤x≤3,

x的取值范圍是[2,3].

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