Question

已知橢圓C：的離心率為，左、右端點分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上存在兩點A和B關(guān)于直線y=2x+m對稱，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知橢圓C的離心率e=，a=2，可得 c=，
所以b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為=1．
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為：y=-x+b，
由，得x²-2bx+2b²-2=0，△=4b²-4（2b²-2）＞0，即b²＜2①，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2b，所以線段AB中點橫坐標為x==b，代入y=-x+b，得y=，
由中點在直線y=2x+m上，得=2b+m，即②，
聯(lián)立①②解得-＜m＜．
故所求實數(shù)m的取值范圍為：-＜m＜．
分析：（Ⅰ）由題意得，e==，a=2，從而求得b、c的值，從而求得橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為：y=-x+b，與橢圓聯(lián)立方程組消掉y得x的二次方程，易知△＞0①，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理及中點公式可得AB中點坐標，代入直線y=2x+m可得關(guān)于m，b的方程②，聯(lián)立①②即可求得m的范圍；
點評：本題考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查軸對稱問題，關(guān)于圓錐曲線中的軸對稱問題一般采取方程不等式法解決，即判別式大于0及中點在直線上得一方程一不等式．