Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象頂點(diǎn)為（1，-9），且圖象在x軸截得的線段長(zhǎng)為6．
（Ⅰ）求f（2）；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（m，m+3）上單調(diào)，求m的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，f（x）=ax²+bx+c=a（x-1）²-9，設(shè)f（x）=0的兩個(gè)根分別為 x₁，x₂，再根據(jù)|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=6，求得a的值，可得f（x）的解析式，從而求得 f（2）的值．
（Ⅱ）①若f（x）在區(qū)間（m，m+3）上單調(diào)增，則 m≥1；②若f（x）在區(qū)間（m，m+3）上單調(diào)減，則m+3≤1，綜合可得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c=a（x-1）²-9=ax²-2ax+a-9，
設(shè)f（x）=0的兩個(gè)根分別為 x₁，x₂，∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=

a-9

a

．
再由圖象在x軸截得的線段長(zhǎng)為6，可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

4-4• a-9 a

=6，
求得a=1，故f（x）=x²-2x-8，∴f（2）=-8．
（Ⅱ）①若f（x）在區(qū)間（m，m+3）上單調(diào)增，則 m≥1，
②若f（x）在區(qū)間（m，m+3）上單調(diào)減，則m+3≤1，即 m≤-2．
綜上：m≥1或m≤-2時(shí)，f（x）在區(qū)間（m，m+3）上單調(diào)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的解析式常用的方法，屬于中檔題．