Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)令f'（x）≥0在（-∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值．
解答：解：f'（x）=3x²-2ax+（a²-1），其判別式△=4a²-12a²+12=12-8a²．
（ⅰ）若△=12-8a²=0，即a=±，當(dāng)x∈（-∞，），或x∈（，+∞）時(shí)，
f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)．
所以a=±．
（ⅱ）若△=12-8a²＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)，
所以a²＞，
即a∈（-∞，-）∪（，+∞）
（ⅲ）若△12-8a²＞0，即-＜a＜，
令f'（x）=0，
解得x₁=，x₂=．
當(dāng)x∈（-∞，x₁），或x∈（x₂，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．依題意x₁≥0且x₂≤1．
由x₁≥0得a≥，解得1≤a＜
由x₂≤1得≤3-a，解得-＜a＜，從而a∈[1，）
綜上，a的取值范圍為（-∞，-]∪[，+∞）∪[1，），
即a∈（-∞，-]∪[1，∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．