已知直線(xiàn)方程為(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.
(Ⅰ)證明:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)M;
(Ⅱ)若直線(xiàn)分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程.
分析:(Ⅰ)直線(xiàn)方程按m集項(xiàng),方程恒成立,得到方程組,求出點(diǎn)的坐標(biāo),即可證明:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)M;
(Ⅱ)若直線(xiàn)分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A,B兩點(diǎn),說(shuō)明直線(xiàn)的斜率小于0,設(shè)出斜率根據(jù)直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn),寫(xiě)出直線(xiàn)方程,求出△AOB面積的表達(dá)式,利用基本不等式求出面積的最小值,即可得到面積最小值的直線(xiàn)的方程.
解答:(Ⅰ)證明:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0化為(x-2y-3)m=-2x-y-4.(3分)
由得
∴直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)(-1,-2).(6分)
(Ⅱ)解:設(shè)直線(xiàn)的斜率為k(k<0),則其方程為y+2=k(x+1),
∴OA=|
-1|,OB=|k-2|,(8分)
S
△AOB=
•OA•OB=
|(
-1)(k-2)|=
|-
|..(10分)
∵k<0,∴-k>0,
∴S
△AOB=
[-
]=
[4+(-
)+(-k)]≥4.
當(dāng)且僅當(dāng)-
=-k,即k=-2時(shí)取等號(hào).(13分)
∴△AOB的面積最小值是4,(14分)
直線(xiàn)的方程為y+2=-2(x+1),即y+2x+4=0.(15分)
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)的知識(shí),三角形面積的最小值的求法,基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.