Question

設(shè)x₁、x₂是函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x (a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，求證：f′（-2）＞3；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范圍；
（3）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）時(shí)，求函數(shù)g（x）=|f′（x）+2（x-x₂）|的最大值h（a）．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系列出關(guān)于a，b的不等式組是解決本題的關(guān)鍵，利用整體思想確定出f′（-2）的取值范圍；
（2）建立b與x₁，x₂的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)所得的函數(shù)表達(dá)式利用函數(shù)的單調(diào)性求出b的取值范圍；
（3）寫出函數(shù)g（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最大值h（a）．

解答：解：由已知：f'（x）=ax²+（b-1）x+1
故x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根
（1）由于x₁＜2＜x₂＜4故

f′ (2)＜0 f′ (4)＞0

即

4a+2b-1＜0① 16a+4b-3＞0  ②

由于f'（-2）=4a-2b+3
①×（-3）+②得：4a-2b＞0
∴f'（-2）＞3

（2）由韋達(dá)定理

x1+x2= 1-b a x1x2= 1 a ＞0

故1-b=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

即b=1-

1

x1

-

1

x2

當(dāng)0＜x₁＜2時(shí)，則x1x2=

1

a

＞0得x2＞0
這時(shí)，由|x₂-x₁|=2得x₂=x₁+2
即b=1-(

1

x1

+

1

x1+2

)=1-

2(x1+1)

(x1+1)2-1

=1-

2

(x1+1)- 1 x1+1

為增函數(shù)（也可用求導(dǎo)法來證），
故b＜1-(

1

2

+

1

4

)=

1

4

當(dāng)-2＜x₁＜0時(shí)，有x₁-x₂=2，則b=1-(

1

x1

+

1

x1-2

)也為增函數(shù)
故這時(shí)，b＞1-(

1

-2

+

1

-2-2

)=

7

4

綜上，b的取值范圍是(-∞，

1

4

)∪(

7

4

，+∞)

（3）∵a≥2，x₂-x₁=2故可設(shè)f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
∴g（x）=|f'(x)+2(x-x2)|=|a(x-x2)(x-x1+

2

a

)|
∵x∈（x₁，x₂）∴x-x₂＜0，x-x₁＞0，x-x₁+

2

a

＞0
∴g(x)=a(x2-x)(x-x1+

2

a

)≤a[

x2-x1+ 2 a

2

]2=a+

1

a

+2
當(dāng)且僅當(dāng)x₂-x=x-x₁+

a

2

即x=

x1+x2

2

-

1

a

=x1+1-

1

a

等號(hào)成立．
∴h（a）=a+

1

a

+2a∈[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題屬于函數(shù)與不等式的綜合問題，利用導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)確定出相關(guān)的關(guān)系，列出相關(guān)的不等式進(jìn)行綜合轉(zhuǎn)化．本題考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查不等式的基本方法和技巧．考查導(dǎo)數(shù)的工具作用．