18.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x+1)=$\frac{1}{f(x)}$.當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f(x)=2x+1.給出下列命題:
①f(2013)+f(-2014)=$\frac{5}{2}$;             
②f(x)是定義域上周期為2的周期函數(shù);
③直線y=8x與函數(shù)y=f(x)圖象只有1個(gè)交點(diǎn); 
④y=f(x)的值域?yàn)椋?\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$]∪[2,4)
其中正確命題的序號(hào)為:①③④.

分析 ①②,當(dāng)x≥0時(shí),f(x+1)=$\frac{1}{f(x)}$⇒T=2,且函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(2013)+f(-2014)=f(2013)+f(2014)=f(1)+f(0)=$\frac{1}{f(0)}$+f(0)=$\frac{5}{2}$,
③,直線y=8x在區(qū)間[0,1)遞增,值域?yàn)閇0,8),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,1)遞增,值域?yàn)閇0,4),依據(jù)圖象可得只有1個(gè)交點(diǎn);
④,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),x-1∈[0,1),f(x)=$\frac{1}{f(x-1)}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$.

解答 解:當(dāng)x≥0時(shí),f(x+1)=$\frac{1}{f(x)}$⇒T=2,且函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),∴f(2013)+f(-2014)=f(2013)+f(2014)=f(1)+f(0)=$\frac{1}{f(0)}$+f(0)=$\frac{5}{2}$,
①故正確,②錯(cuò);對(duì)于③,直線y=8x在區(qū)間[0,1)遞增,值域?yàn)閇0,8),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,1)遞增,值域?yàn)閇0,4),依據(jù)圖象可得只有1個(gè)交點(diǎn),故正確;
對(duì)于④,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),x-1∈[0,1),f(x)=$\frac{1}{f(x-1)}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$∈($\frac{1}{4},\frac{1}{2}$],故正確.
故答案:①③④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期、值域等基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

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