Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l₁：x=m（|m|＞1），P為l₁上的動(dòng)點(diǎn)，使∠F₁PF₂最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用m表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)長軸A₁A₂的長為4求得a，根據(jù)|MA₁|：|A₁F₁|=2：1求得c，最后根據(jù)b=

a2-c2

求得b．橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)P（m，y₀），|m|＞1，依題意可知只需求tan∠F₂PF₂的最大值即可．設(shè)出直線PF₁和PF₂的斜率可表示出tan∠F₁PF₂，根據(jù)y₀的范圍進(jìn)而確定tan∠F₁PF₂的范圍，進(jìn)而可求得∠F₁PF₂最大時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距為c，則|MA₁|=

a2

c

-a，|A₁F₁|=a-c．
由題意，得

a2 c -a=2(a-c) 2a=4 a2=b2+c2

∴a=2，b=

3

，c=1．故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）設(shè)P（m，y₀），|m|＞1，
當(dāng)y₀=0時(shí)，∠F₁PF₂=0；
當(dāng)y₀≠0時(shí)，0＜∠F₁PF₂＜PF₁M＜

π

2

，
∴只需求tan∠F₂PF₂的最大值即可．
設(shè)直線PF₁的斜率k₁=

y0

m+1

，直線PF₂的斜率k₂=

y0

m-1

，
∴tan∠F₁PF₂=|

k2-k1

1+k1k2

|=

2|y0|

m2-1+y02

≤

2|y0|

2 m2-1 •|y0|

=

1

m2-1

當(dāng)且僅當(dāng)

m2-1

=|y₀|時(shí)，∠F₁PF₂最大，∴Q（m，±

m2-1

）|m|＞1．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．圓錐曲線問題的綜合考查是歷年來高考的熱點(diǎn)問題，應(yīng)作為重點(diǎn)來復(fù)習(xí)．