Question

已知函數(shù)f(x)=loga

x+1

x-1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明之．

Answer 1

分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再利用奇函數(shù)定義，證明f（-x）=-f（x）即可；（2）先將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)形式，由于內(nèi)層函數(shù)為減函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)性取決于外層函數(shù)的單調(diào)性，故需分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，最后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明討論結(jié)果即可

解答：解：（1）∵f(x)=loga

x+1

x-1

，∴f（x）的定義域是{x|x＜-1或x＞1}
又f（-x）+f（x）=loga

-x+1

-x-1

+loga

x+1

x-1

=loga(

-x+1

-x-1

•

x+1

x-1

)=loga1=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)…（5分）
（2）∵f(x)=loga

x+1

x-1

=loga(1+

2

x-1

)
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）有意義
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
證明如下：設(shè)任意的x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＞x₂
則f(x1)-f(x2)=loga

x1+1

x1-1

-loga

x2+1

x2-1

=loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

∴x₁＞x₂＞1∴x₁+1＞x₂+1＞2，x₁-1＞x₂-1＞0，x₂-x₁＜0
∴

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

-1=

(x1+1)(x2-1)-(x1-1)(x2+1)

(x1-1)(x2+1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

＜0
∴0＜

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜1
∴當(dāng)a＞1時(shí)，loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
故 當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性的定義及其判斷方法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟，分類討論的思想方法