Question

如圖，在三棱錐S—ABC中，SC⊥平面ABC，點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn)，設(shè)

PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°．

（I）求證：；（Ⅱ）求證：平面MAP⊥平面SAC；

（ Ⅲ）求銳二面角M—AB—C的大小的余弦值；

 

Answer 1

【答案】

（I）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（ Ⅲ）

【解析】本試題主要是考查了空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn)  ∴

又∴

（2）建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.，借助于法向量的垂直問(wèn)題來(lái)證明面面的垂直。

（3）在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上可知得到平面的法向量與法向量的夾角，得到二面角的平面角的大小。

解：（I）∵點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn)  ∴

又∴

（II）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°

∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，      …………………………….2分

又∵P，M是SC、SB的中點(diǎn)

∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，……………………………..5分

（II）如圖以C為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C—xyz.

則

    ………………………9分

設(shè)平面MAB的一個(gè)法向量為，則

由  取z=…………………..11分

取平面ABC的一個(gè)法向量為

則

故二面角M—AB—C的余弦值為…………………….13分