Question

我們將點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過(guò)矩陣

a b c d

的變換得到新的點(diǎn)P'（x'，y'）稱作一次運(yùn)動(dòng)，即：

x′ y′

=

a b c d

x y

．
（1）若點(diǎn)P（3，4）經(jīng)過(guò)矩陣A=

0 1 1 0

變換后得到新的點(diǎn)P'，求出點(diǎn)P'的坐標(biāo)，并指出點(diǎn)P'與點(diǎn)P的位置關(guān)系；
（2）若函數(shù)f(x)=

1

a

x2+

5

a

（x≥0）的圖象上的每一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)（1）中的矩陣A變換后，所得到圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)y=g（x），試研究在y=g（x）上是否存在定義域與值域相同的區(qū)間[m，n]，若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用矩陣與平面列向量的乘法公式，可求點(diǎn)P'的坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷點(diǎn)P'與點(diǎn)P的位置關(guān)系；
（2）要使函數(shù)y=g（x）存在定義域與值域相同的區(qū)間[m，n]，只需方程

ax-5

=x當(dāng)x≥0時(shí)有兩個(gè)相異實(shí)根，即方程ax-5=x²有兩個(gè)相異正根（x=0顯然不是方程的根），從而轉(zhuǎn)化函數(shù)y=a與函數(shù)y=x+

5

x

（x＞0）有兩個(gè)交點(diǎn)，故可解．

解答：解：（1）∵

0 1 1 0

3 4

=

4 3

，∴P'的坐標(biāo)為（4，3）（2分）
顯然點(diǎn)P'與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱；（4分）
（2）由（1）知y=g（x）為y=f（x）的反函數(shù)，（5分）
∴x²=ay-5，∴x=

ay-5

∴當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)=

ax-5

（x≥

5

a

）（7分）
當(dāng)a＜0時(shí)，g(x)=

ax-5

（x≤

5

a

）（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
要使函數(shù)y=g（x）存在定義域與值域相同的區(qū)間[m，n]，
只需方程

ax-5

=x當(dāng)x≥0時(shí)有兩個(gè)相異實(shí)根，（10分）
即方程ax-5=x²有兩個(gè)相異正根（x=0顯然不是方程的根），∴a=x+

5

x

（x＞0）即函數(shù)y=a與函數(shù)y=x+

5

x

（x＞0）有兩個(gè)交點(diǎn)，
由基本不等式可知：a＞2

5

（x+

5

x

≥2

5

當(dāng)且僅當(dāng)x=

5

時(shí)有最小值）（12分）
當(dāng)a＜0時(shí)，∵函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)閇0，+∞），而x≤

5

a

＜0，∴當(dāng)a＜0時(shí)，不存在定義域與值域相同的區(qū)間[m，n]，∴a的取值范圍為(2

5

，+∞)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以矩陣為載體，考查矩陣變換，考查存在性問(wèn)題的探求，關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化．