Question

在數列{a_n}中，若a₁，a₂是正整數，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，則稱{a_n}為“絕對差數列”．
（1）舉出一個前五項不為零的“絕對差數列”（只要求寫出前十項）；
（2）證明：任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項．

Answer 1

（1）（答案不唯一）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．
（2）證明：根據定義，數列{a_n }必在有限項后出現(xiàn)0項，證明如下：
假設{a_n }中沒有0項，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，所以對于的n，都有a_n≥1，從而
當a_n-1＞a_n-2時，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1（n≥3）
當a_n-1＜a_n-2時，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1（n≥3）
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．
令cn=

a2n-1(a2n-1＞a2n) a2n(a2n-1＜a2n)

，n=1，2，3，…，
則0＜c_n≤c_n-1-1（n=2，3，4，…），由于c₁是確定的正整數，
這樣減下去，必然存在某項c₁＜0，
這與c_n＞0（n=1，2，3，4，…）矛盾，
從而{a_n }必有0項．
若第一次出現(xiàn)的0項為第n項，
記a_n-1=A（A≠0），則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A，
即

an+3k=0 an+3k+1=A an+3k+2=A

k=0，1，2，3，…．
所以“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項．