Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為6，動點M在棱A₁B₁上．
（1）求證：DM⊥AD₁；
（2）當M為A₁B₁的中點時，求CM與平面DC₁所成角的正弦值；
（3）當A₁M=

3

4

A₁B₁時，求點C到平面D₁DM的距離．

Answer 1

分析：（1）連A₁D、B₁C，由正方體性質(zhì)，AD₁⊥A₁D，A₁B₁⊥AD₁證出AD₁⊥平面A₁DCB₁，即可證出AD₁⊥DM．
（2）在平面A₁C₁內(nèi)過點M作MN∥B₁C₁，交D₁C₁于N，則∠MCN為CM與平面DC₁所成角．在三角形MNC中求出．
（3）由于CC1∥平面D₁DMC，將點C到平面D₁DM的距離．轉(zhuǎn)化成C₁到平面D₁DM的距離，作C₁H⊥D₁M于點H，證出C₁H⊥平面D₁DM，則C₁H為所求距離．

解答：解：（1）證明：連A₁D、B₁C，由正方體性質(zhì)，AD₁⊥A₁D，A₁B₁⊥AD₁
∴AD1⊥平面A1DCB1
DM?平面A₁DCB₁，∴AD1⊥DM
（2）在平面A₁C₁內(nèi)過點M作MN∥B₁C₁，交D₁C₁于N，
則MN⊥平面DC₁，連NC．
則∠MCN為CM與平面DC₁所成角　…（6分）
∵MN=B₁C₁=6，MC=

B1C2+MB12

=9
∴sin∠MCN=

MN

MC

=

2

3

，即所求正弦值為

2

3

．…（8分）
（3）連C₁M，作C₁H⊥D₁M于點H，∵DD₁⊥平面A₁C₁∴D₁D⊥C₁H
∵CC₁∥D₁D
D₁D?平面D₁DM
CC₁?平面D₁DM
∴CC₁∥平面D₁DM
連C₁M，作C₁H⊥D₁M于點H，∵DD₁⊥平面A₁C₁∴D₁D⊥C₁H
∴C₁H⊥平面D₁DM，C₁H為C₁到平面D₁DM的距離即 C到平面D₁DM的距離為C₁H…（10分）
∵

1

2

C₁H•D₁M=S_△D1C1M=18，而D₁M=

A1D12+A1M2

=

15

2

 
∴C₁H=

24

5

∴C到平面D₁DM的距離為

24

5

…（12分）

點評：本題主要考查空間角，距離的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．