Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的關(guān)系，通過兩角和與三角形的內(nèi)角和，求出B的值；
（Ⅱ）通過S=

1

2

acsinB，利用B=

2π

3

以及a+c=4，推出△ABC面積S的表達(dá)式，通過平方法結(jié)合a的范圍求出面積的最大值．

解答：解  （Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
得2sinAcosB+sin（C+B）=0，
因?yàn)锳+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因?yàn)閟inA≠0，
所以cosB=-

1

2

，又B為三角形的內(nèi)角，所以B=

2π

3

．
（Ⅱ）因?yàn)镾=

1

2

acsinB，由B=

2π

3

及a+c=4得S=

1

2

a(4-a)sin

2π

3

=

3

4

(4a-a2)=

3

4

[4-(a-2)2]，
又0＜a＜4，所以當(dāng)a=2時(shí)，S取最大值

3

  …（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角形面積的最值，三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)的公式的靈活應(yīng)用，考查計(jì)算能力．