Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n=32n-n².

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n;

(2)求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n′.

   

Answer 1

思路分析：本題考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及含絕對值的數(shù)列前n項(xiàng)和的求法.在求和前首先

要確定從哪一項(xiàng)開始該項(xiàng)的值為負(fù),然后將和分段表示.

    解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a₁=S₁=31,

    當(dāng)n＞1時(shí),a_n=S_n-S_n-1=33-2n.

    顯然n=1時(shí),a₁=33-2×1=31,

∴a_n=33-2n,n∈N^*.

(2)當(dāng)n≤16時(shí),

S_n′=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|

=a₁+a₂+…+a_n

=(a₁+a_n)

=n(31+33-2n)

=32n-n²;

    當(dāng)n＞16時(shí),

S_n′=a₁+a₂+…+a₁₆-a₁₇-a₁₈-…-a_n

=S₁₆-(S_n-S₁₆)

=2S₁₆-S_n

=512-32n+n².

    思維啟示：①含有絕對值符號的數(shù)列,求其前n項(xiàng)和,解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)數(shù)絕對值的定義找到滿足條件的分界值n(n∈N^*),即找到數(shù)列的轉(zhuǎn)折項(xiàng).②{a_n}成等差數(shù)列,但{|a_n|}不再成等差數(shù)列,應(yīng)將{|a_n|}的前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等差數(shù)列的求和問題.如本例中,當(dāng)n＞16時(shí),將S_n′轉(zhuǎn)化為2S₁₆-S_n.