Question

7．在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且2sin²$\frac{A+C}{2}$+cos2B=1．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求y=a+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得cosB+2cos²B-1=0，進而解得cosB的值，結合范圍B∈（0，π），即可得解B的值．
（Ⅱ）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得y=a+c=4sin（A+$\frac{π}{6}$），求得范圍$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{2}$，利用正弦函數的性質可得sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，進而可求y=a+c的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由2sin²$\frac{A+C}{2}$+cos2B=1，
有1-cos（A+C）+cos2B=1．
∴cosB+2cos²B-1=0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$或cosB=-1，
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理$\frac{sinB}=2R=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴y=a+c=2RsinA+2RsinC
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（sinA+sinC）…（8分）
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$[$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）]
=4sin（A+$\frac{π}{6}$）．…（10分）
而c=$\frac{2π}{3}$-A$＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴y=4sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（2$\sqrt{3}$，4]．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦定理，正弦函數的圖象和性質的在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．