Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），在x∈（0，1）時(shí)，f（x）=，且f（-1）=f（1）．
（1）求f（x）在x∈[-1，1]上的解析式；
（2）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜；
（3）若x∈（0，1），常數(shù)λ∈（2，），解關(guān)于x的不等式f（x）＞．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）是R上的奇函數(shù)且x∈（0，1）時(shí)，f（x）=，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）=-f（-x）==-又由于f（x）為奇函數(shù)，最后寫出當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）的解析式即可；
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）==利用基本不等式即可證明得到f（x）＜；
（3）先由λ∈（2，），得出∈（，），將f（x）＞即4^x-λ•2^x+1＜0，利用換元法設(shè)t=2^x∈（1，2），不等式變?yōu)閠²-λt+1＜0從而解得不等式的解集即可．
解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)且x∈（0，1）時(shí)，f（x）=，
∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）=-f（-x）==-，（1分）
又由于f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=-f（-0），∴f（0）=0，（2分）
又f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1），∴f（-1）=f（1）=0．（3分）
綜上所述，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=（4分）
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）==，（5分）
，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=0取等號(hào)．（6分）
∵x∈（0，1），∴不能取等號(hào)，
∴f（x）＜；（8分）
（3）λ∈（2，），∈（，），f（x）＞即4^x-λ•2^x+1＜0，
設(shè)t=2^x∈（1，2），不等式變?yōu)閠²-λt+1＜0，∵λ∈（2，），∴△=λ²-4＞0，
∴＜t＜．（10分）
而當(dāng)λ∈（2，）時(shí)，t＞0．
綜上可知，不等式的解集是（0，log₂）．（13分）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．