設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)x≠0的任意實(shí)數(shù)，恒有數(shù)學(xué)公式成立．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在數(shù)學(xué)公式上是增函數(shù)．

（1）解：由f（x）-2，①
得，②（2分）
①+②×②，得-3f（x）=x2+．
∴．（4分）
（2）證明：任取0＜x1＜x2≤．（6分）

=
=
= （8分）
∵0＜x1＜x2≤，
∴．
而x1x2＞0，x12x22＞0，
∴．（10分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，]上是增函數(shù)．（12分）
分析：（1）由f（x）-2，得，由此能求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）任取0＜x1＜x2≤．=，由0＜x1＜x2≤，得，由此能夠證明f（x）在（0，]上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x+sinx
x
．
（Ⅰ） 判斷f（x）在區(qū)間（0，π）上的增減性并證明之；
（Ⅱ） 若不等式0≤a≤
x-3
+
4-x
對(duì)x∈[3，4]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍M；
（Ⅲ）設(shè)0≤x≤π，且a∈M，求證：（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x≥0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)x≠0的一切實(shí)數(shù)均有f(x)+2f(
2012
x
)=3x，則f（2）等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）（x∈N）表示x除以2的余數(shù)，函數(shù)g（x）（x∈N）表示x除以3的余數(shù)，則對(duì)任意的x∈N，給出以下式子：
①f（x）≠g（x）；②g（2x）=2g（x）；③f（2x）=0；④f（x）+f（x+3）=1．其中正確的式子編號(hào)是
③④
③④
．（寫出所有符合要求的式子編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)x≠0的任意實(shí)數(shù)，恒有f(x)-2f(
1
x
)=x2+1成立．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在(0，
42
]上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=0；
②f（x）=x2；
③f（x）=
2
（sinx+cosx）；
④f（x）=
x
x2+x+1
；
⑤f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x1、x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．
其中是F函數(shù)的序號(hào)為
①④⑤
①④⑤
．

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