Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且a_n=$\frac{{S}_{n}+n}{2}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n+t}是等比數(shù)列，求t的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易得a_n=2a_n-1+1，∴a₂=3，a₃=7，依題意，得（3+t）²=（1+t）（7+t），解得t=1，
 （Ⅱ）由（Ⅰ），知當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1=2（a_n-1+1），即數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得${a}_{n}+1=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，即可求通項(xiàng)．
（Ⅲ）由（Ⅱ），知b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}=\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，累加即可求和．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，由a₁=$\frac{{s}_{1}+1}{2}=\frac{{a}_{1}+}{2}$（n∈N^*），得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=2a_n-n-2a_n-1+（n-1），
即a_n=2a_n-1+1，∴a₂=3，a₃=7，．
依題意，得（3+t）²=（1+t）（7+t），解得t=1，
當(dāng)t=1時(shí)，a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
即數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，故實(shí)數(shù)t的值為1．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1=2（a_n-1+1），
又因?yàn)閍₁+1=2，
所以數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
所以${a}_{n}+1=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴a${\;}_{n}={2}^{n}-1$（n∈N⁺）．
（Ⅲ）由（Ⅱ），知b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}=\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
則T_n=$\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}+…+$$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式、等比數(shù)列的判定、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)，考查了裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．