Question

已知某運動物體做變速直線運動，它的速度v是時間t的函數(shù)v（t），求物體在t=0到t=t₀這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程。

Answer 1

解：（1）分割：
將時間[0，t₀]分成n個小區(qū)間，每個區(qū)間記為（i=1，2…，n），
每個小區(qū)間所表示的時間為，
各個區(qū)間物體運動的距離記作△s_i（i=1，2，…，n）；
（2）近似代替：
在每個小區(qū)間上以勻速直線運動的路程近似代替變速直線運動的距離，在小區(qū)間上任取一時刻ξ_i（i=1，2，…，n），
用時刻ξ_i的速度v（ξ_i）近似代替第i個小區(qū)間上的速度，由勻速直線運動的路程公式，每個小區(qū)間物體運動所經(jīng)過的距離可以近似表示為△s_i≈v（ξ_i）△t（i=1，2， …，n）；
（3）求和：由于每個小區(qū)間上物體運動的距離可以用這一區(qū)間上做勻速直線運動的路程近似代替，所以在時間[0，t0]范圍物體運動的距離s就可以用這一物體在分割n個小區(qū)間上做n個勻速直線運動的路程和近似代替，即_i）△t；
（4）取極限：求和式①的極限：當所分時間越短，即就越小，和式①的值就越接近s，
因此，當n→∞，即時，和式①的極限就是所求的物體在時間區(qū)間[0，t0]上所經(jīng)過的路程，
由此可得_i）△t。