已知函數(shù)f（x）=log2（1+x）+log2（1-x）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（x）=log2h（x），判斷函數(shù)h（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．
分析：（1）令
1+x＞0
1-x＞0
，求得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)f（-x）=f（x），可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）由于f（x）=log2（1-x2）=log2h（x），可得h（x）=1-x2．再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)h（x）在（0，1）上的單調(diào)性．
解答：解：（1）令
1+x＞0
1-x＞0
，求得-1＜x＜1，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
再根據(jù)f（-x）=）=log2（1-x）+log2（1+x）=）=log2（1+x）+log2（1-x）=f（x），可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
 （2）由于f（x）=log2（1+x）+log2（1-x）=log2（1+x）（1-x）=log2（1-x2），且f（x）=log2h（x），
故有 h（x）=1-x2．
設(shè)0＜x1＜x2＜1，則h（x1）-h（x2）=（1-x12）-（1-x22）=x22-x12=（x2+x1）（x2-x1），
而由題設(shè)可得 （x2+x1）＞0，（x2-x1）＞0，∴h（x1）＞h（x2），
故函數(shù)h（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，求函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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