Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，證明C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)h（x）的解析式，因為函數(shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h'（x）＜0有解，求出a的取值范圍；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)分別表示出函數(shù)在C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線，結(jié)合過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，建立關(guān)系式，通過反證法進行證明即可．
解答：解：（I）b=2時，h（x）=lnx-ax²-2x，
則h′（x）=-ax-2=-．
因為函數(shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h'（x）＜0有解．
又因為x＞0時，則ax²+2x-1＞0有x＞0的解．
①當(dāng)a＞0時，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，ax²+2x-1＞0總有x＞0的解；
②當(dāng)a＜0時，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，而ax²+2x-1＞0總有x＞0的解；
則△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根．此時，-1＜a＜0．
綜上所述，a的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．
（II）設(shè)點P、Q的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標(biāo)為x=，
C₁在點M處的切線斜率為k₁=，x=，k₁=，
C₂在點N處的切線斜率為k₂=ax+b，x=，k₂=+b．
假設(shè)C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂．
即=+b，
則
=（x₂²-x₁²）+b（x₂-x₁）
=（x₂²+bx₂）-（+bx₁）
=y₂-y₁
=lnx₂-lnx₁．
所以=．設(shè)t=，則lnt=，t=1①
令r（t）=lnt-，t＞1．則r′t=-=．
因為t＞1時，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．故r（t）＞r（1）=0．
則lnt＞．這與①矛盾，假設(shè)不成立．
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．
點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線問題，屬于難題．