Question

已知數(shù)列{a_n}滿足下列條件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且數(shù)列{a_na_n+1}是一個(gè)以q（q＞0）為公比的等比數(shù)列．設(shè)b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（2）求

lim

n→∞

1

sn

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

anan+1

an-1   an

=

an1

an-1

=q，即

bn+1

bn

=

a2n+1+a2n+2

a2n-1+a2n

=q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求bn=(1+r)•qn-1
（2）由等比數(shù)列的求和公式可知，要求S_n，需要討論q的值是否為1，分q=1時(shí)，S_n=（1+r）n，q≠1時(shí)，Sn=

(1+r)(1-qn)

1-q

，代入可求極限

解答：解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_na_n+1}是一個(gè)以q（q＞0）為公比的等比數(shù)列
所以

anan+1

an-1   an

=

an1

an-1

=q（n≥2），因此

bn+1

bn

=

a2n+1+a2n+2

a2n-1+a2n

=q
所以{b_n}是一個(gè)以1+r為首項(xiàng)，以q為公比的等比數(shù)列．
∴bn=(1+r)•qn-1
（2）q=1時(shí)，S_n=（1+r）n，

lim

n→∞

 

1

Sn

 =0
q≠1時(shí)，Sn=

(1+r)(1-qn)

1-q

，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1-q

(1+r)(1-qn)

若0＜q＜1，

lim

n→∞

1

Sn

=

1-q

1+r

若q＞1，

lim

n→∞

1

Sn

=0
∴

lim

n→∞

1

Sn

=

0，q≥1 1-q 1+r ，0＜q＜1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式，等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，數(shù)列極限的求解，要注意等比數(shù)列求和公式應(yīng)用時(shí)對(duì)公比q的討論