Question

執(zhí)行下面框圖所描述的算法程序，記輸出的一列數(shù)依次為a₁，a₂，…，a_n，n∈N*，n≤2011．（注：框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“←”或“：=”）

（1）若輸入λ=

2

，寫出輸出結(jié)果；
（2）若輸入λ=2，令bn=

1

an-1

，證明b_n是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列a_n的通項公式；
（3）若輸入λ=

5

2

，令cn=

2an-1

an-2

，T=c₁+2c₂+3c₃+…+2011c₂₀₁₁．求證：T＜

8

9

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)圖直接可以判斷當(dāng)λ=

2

時的輸出結(jié)果，（2）結(jié)合題干條件求證b_n+1-b_n是一個常數(shù)，即可求出數(shù)列a_n的通項公式，（3）首先證明c_n是等比數(shù)列，然后根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出T_n，最后進行大小比較．

解答：解：（1）輸出結(jié)果為0，

2

2

，

2

．（4分）
（注：寫對第一個數(shù)給（1分），寫對二個數(shù)得（2分）．）
（2）當(dāng)λ=2時，bn+1-bn=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1 2-an -1

-

1

an-1

=

2-an

an-1

-

1

an-1

=-1（常數(shù)），
n∈N*，n≤2010．
所以，b_n是首項b₁=-1，公差d=-1的等差數(shù)列．（6分）
故b_n=-n，

1

an-1

=-n，數(shù)列a_n的通項公式為an=1-

1

n

，n∈N*，n≤2011．（9分）
（3）當(dāng)λ=

5

2

時，an+1=

1

5 2 -an

，cn=

2an-1

an-2

cn+1

cn

=

2an+1-1 an+1-2

2an-1 an-2

=

2 5 2 -an -1 1 5 2 -an -2

2an-1 an-2

=

1 4 • 2an-1 an-2

2an-1 an-2

=

1

4

，（11分）
∴c_n是以

1

2

為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列．cn=

1

2

(

1

4

)n-1=2(

1

4

)nT_n=c₁+2c₂+3c₃++n•c_n=2(

1

4

)+4(

1

4

)2+6(

1

4

)3++2n(

1

4

)n

1

4

Tn=2(

1

4

)2+4(

1

4

)3+6(

1

4

)4++2n(

1

4

)n+1
兩式作差得(1-

1

4

)Tn=2(

1

4

)+2(

1

4

)2+2(

1

4

)3+2(

1

4

)4++2(

1

4

)n-2n(

1

4

)n+1
即

3

4

Tn=

2•( 1 4 )[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

-2n(

1

4

)n+1=

2

3

[1-(

1

4

)n]-2n(

1

4

)n+1∴Tn=

8

9

[1-(

1

4

)n]-

8n

3

(

1

4

)n+1=

8

9

-

8

9

(

1

4

)n-

8n

3

(

1

4

)n+1（13分）
當(dāng)n=2011時，T=

8

9

-

8

9

(

1

4

)2011-

8

3

•2011•(

1

4

)2012＜

8

9

（14分）

點評：本題主要考查程序框圖和數(shù)列求和的知識點，解答本題的關(guān)鍵是看懂程序框圖的運算程序，熟練掌握等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，本題把程序框圖和數(shù)列的知識點結(jié)合在一起進行考查，也是一道不錯的習(xí)題．