Question

【題目】已知函數f（x）=ex ， g（x）=mx2+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…為自然對數的底數． （I）函數h（x）=xf （x），當a=l，b=0時，若函數h（x）與g（x）具有相同的單調區(qū)間，求m的值；
（II）記F（x）=f（x）﹣g（x）．當a=2，m=0時，若函數F（x）在[﹣1，2]上存在兩個不同的零點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=ex ， 函數h（x）=xf（x）， ∴h（x）=xex ， ∴h′（x）=ex+xex ，
∵h′（x）=ex+xex=0，x=﹣1，
h′（x）=ex+xex＞0，x＞﹣1，
h′（x）=ex+xex＜0，x＜﹣1，
∴h（x）=xex ， （﹣∞，﹣1）上單調遞減，（﹣1，+∞）單調遞增，x=﹣1時h（x）取極小值，
∵當a=1，b=0時g（x）=mx2+ax+b=mx2+x，若函數h（x）與g（x）具有相同的單調區(qū)間，
∴﹣ =﹣1，m= ；
（Ⅱ）當m=0，a=2時，F（x）=ex﹣2x﹣b，
∴F′（x）=ex﹣2，
∵F′（x）=ex﹣2=0，x=ln2，
F′（x）=ex﹣2＞0，x＞ln2
F′（x）=ex﹣2＜0，x＜ln2，
∴F（x）在（﹣∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，
F（x）的最小值為F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，
∵函數F（x）在[﹣1，2]上存在兩個不同的零點，
∴2﹣2ln2﹣b＜0，F（﹣1）≥0，F（2）≥0，
解得出：b＞2﹣2ln2，b≤ +2，b≤e2﹣4，
即2﹣2ln2＜b≤ +2
【解析】（Ⅰ）求解導數得出：h（x）=xex ， （﹣∞，﹣1）上單調遞減，（﹣1，+∞）單調遞增，x=﹣1時h（x）去極小值．（Ⅱ）當m=0時，記F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ax﹣b，F（x）在（﹣∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，F（x）的最小值為F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，根據函數性質得出：2﹣2ln2﹣b＜0，F（﹣1）≥0，F（2）≥0．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．