Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BC的中點，P，Q是正方體內(nèi)部及面上的兩個動點，則的最大值是

1. A.
   
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：以A為原點，分別以AB、AD、AA₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），可得 =（x₂-x₁）+．分析可得，當(dāng)P在AA₁上，Q在CC₁上， 有最大值，此時，x₂-x₁=1，y₂-y₁，由此求得 的最大值．
解答：以A為原點，分別以AB、AD、AA₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則 A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1），D₁（0，1，1）．
由題意可得，M（1，，0），設(shè)P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），
則有 0≤x₁≤1，0≤y₁≤1，0≤z₁≤1，0≤x₂≤1，0≤y₂≤1，0≤z₂≤1．
∴向量=（1，，0），向量 =（ x₂-x₁，y₂-y₁，z₂-z₁），
可得 =（x₂-x₁）+．
當(dāng)Q在BCCB₁平面，P在ADDA₁平面時，x₂-x₁=1-0=1，為最大值，
當(dāng)Q在DCCD₁平面，P在ABBA₁平面時，y₂-y₁=1-0=1，為最大值，
故當(dāng)P在AA₁上，Q在CC₁上， 有最大值，此時，=1+=，
故選C．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系，求得有關(guān)點及向量的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．