Question

已知過點(diǎn)A（0，1），B（4，a）且與x軸相切的圓只有一個，求a的值及所對應(yīng)的圓的方程．

Answer 1

分析：分兩種情況：（1）B點(diǎn)剛好為圓與x軸相切的切點(diǎn)，所以B在x軸上得到a=0，因為直線AB的中垂線與x=4的交點(diǎn)為圓心，
所以先求出中垂線方程，方法是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A與B的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為-1求出斜率，然后與x=4聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)，圓心的縱坐標(biāo)為半徑，得到相應(yīng)圓的方程；（2）AB與x軸平行時即得到a=1，圓與x軸相切，得到AB的中垂線方程為x=2，設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心到A的距離等于圓心的縱坐標(biāo)求出圓心坐標(biāo)，而圓的半徑為圓心的縱坐標(biāo)，得到圓的方程．

解答：解：分兩種情況考慮：
（i）設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)B點(diǎn)為切點(diǎn)時，B在x軸上，所以a=0．則B（4，0），所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，

1

2

），直線AB的斜率為

1-0

0-4

=-

1

4

，則AB中垂線的斜率為4，所以AB中垂線的方程為y-

1

2

=4（x-2）與x=4聯(lián)立解得x=4，y=

17

2

，所以圓的方程為：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2；
（ii）當(dāng)a=1時，AB與x軸平行，則AB的中垂線方程為x=2，設(shè)圓心坐標(biāo)為（2，y），根據(jù)勾股定理得：y²=2²+（y-1）²，解得y=

5

2

，所以圓的方程為：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2．
綜上：當(dāng)a=0時，相對應(yīng)的圓的方程為：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2；當(dāng)a=1時，相對應(yīng)的圓的方程為：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2．

點(diǎn)評：此題是一道綜合題，要求學(xué)生會根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求其中垂線方程，利用運(yùn)用圓的性質(zhì)定理，會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．