Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=x²+x-2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）只需求出x≥0時的表達式即可．當x=0時，由奇函數定義可得f（0）；當x＞0時，先求出f（-x），然后由f（-x）與f（x）的關系可得f（x），從而得到f（x）的解析式；
（2）分x＞0，x＜0兩種情況表示出不等式f（x）＞0，分別解出后再求并集即可；

解答：解：（1）當x=0時，因f（x）是奇函數，有f（-x）=-f（x），
所以f（0）=-f（0），得f（0）=0．
設x＞0，則-x＜0，則f（-x）=（-x）²+（-x）-2=x²-x-2．
由f（x）是奇函數，f（-x）=-f （x），
得 f（x）=-x²+x+2，x＞0．
∴f（x）=

-x2+x+2，x＞0 0，x=0 x2+x-2，x＜0

；
（2）由

x＞0 -x2+x+2＞0

，得

x＞0 (x-2)(x+1)＜0

⇒0＜x＜2．
由

x＜0 x2+x-2＞0

，得

x＜0 (x+2)(x-1)＞0

⇒x＜-2．
綜上所述，不等式f（x）＞0的解集為{x|x＜-2或0＜x＜2}．

點評：本題考查函數奇偶性的性質及其應用、一元二次不等式的解法，屬中檔題．