如圖,在五面體

中,四邊形

是邊長(zhǎng)為

的正方形,

平面

,

,

,

,

.

(1)求證:

平面

;
(2)求直線

與平面

所成角的正切值.
(1)詳見解析;(2)

.
試題分析:(1)取

的中點(diǎn)

,先證明四邊形

為平行四邊形得到

,然后通過勾股定理證明

從而得到

,然后結(jié)合四邊形

為正方形得到

,最后利用直線與平面垂直的判定定理證明

平面

;(2)解法1是先取

的中點(diǎn)

,連接

,利用(1)中的結(jié)論

平面

得到

,利用等腰三角形

三線合一得到

,利用直線與平面垂直的判定定理得到

平面

,通過證明四邊形

為平行四邊形得到

,從而得到

平面

,從而得到

,然后利用底面四邊形

為正方形得到

,由這兩個(gè)條件來(lái)證明

平面

,從而得到

是直線

與平面

所成的角,然后在直角

中計(jì)算

,從而求出直線

與平面

所成角的正切值;解法2是先取

的中點(diǎn)

,連接

,利用(1)中的結(jié)論

平面

得到

,利用等腰三角形

三線合一得到

,利用直線與平面垂直的判定定理得到

平面

,然后選擇以

為坐標(biāo)原點(diǎn),

所在直線為

軸,

所在直線為

軸,

所在直線為

軸,建立空間直角坐標(biāo)系

,利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出線

與平面

所成角的正切值.
試題解析:(1)取

的中點(diǎn)

,連接

,則

,

由(1)知,

,且

,

四邊形

為平行四邊形,

,

,
在

中,

,又

,得

,

,
在

中,

,

,

,

,

,

,即

,

四邊形

是正方形,

,

,

平面

,

平面

,

平面

;
(2)解法1:連接

,

與

相交于點(diǎn)

,則點(diǎn)

是

的中點(diǎn),
取

的中點(diǎn)

,連接

、

、

,

則

,

.
由(1)知

,且

,

,且

.

四邊形

是平行四邊形.


,且

,
由(1)知

平面

,又

平面

,

.

,

,

平面

,

平面

,

平面

.

平面

.

平面

,

.

,

,

平面

,

平面

,

平面

.

是直線

與平面

所成的角.
在

中,

.

直線

與平面

所成角的正切值為

;
解法2:連接

,

與

相交于點(diǎn)

,則點(diǎn)

是

的中點(diǎn),
則

,

.由(1)知

,且

,

,且

.

四邊形

是平行四邊形.


,且

,
由(1)知

平面

,又

平面

,

.

,

,

平面

,

平面

,

平面

.

平面

.
以

為坐標(biāo)原點(diǎn),

所在直線為

軸,

所在直線為

軸,

所在直線為

軸,
建立空間直角坐標(biāo)系

,則

,

,

,

.


,

,

.
設(shè)平面

的法向量為

,由

,

,
得

,

,得

.
令

,則平面

的一個(gè)法向量為

.
設(shè)直線

與平面

所成角為

,
則

.

,

.

直線

與平面

所成角的正切值為

.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖所示,空間中有一直角三角形

,

為直角,

,

,現(xiàn)以其中一直角邊

為軸,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

后,將

點(diǎn)所在的位置記為

,再按逆時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)

后,

點(diǎn)所在的位置記為

.
(1)連接

,取

的中點(diǎn)為

,求證:面

面

;
(2)求

與平面

所成的角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,在斜三棱柱

中,側(cè)面

⊥底面

,側(cè)棱

與底面

成60°的角,

.底面

是邊長(zhǎng)為2的正三角形,其重心為

點(diǎn),

是線段

上一點(diǎn),且

.
(1)求證:

//側(cè)面

;
(2)求平面

與底面

所成銳二面角的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖, 已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,
AD∥
BC,
CE∥
BG,且

,平面
ABCD⊥平面
BCEG,
BC=
CD=
CE=2
AD=2
BG=2.

(1)求證:
EC⊥
CD;
(2)求證:
AG∥平面
BDE;
(3)求:幾何體EG-
ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知

表示平面,m,n表示直線,

,給出下列四個(gè)結(jié)論:
①

;②

;③

;④

,
則上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
設(shè)

是兩條不同的直線,

是兩個(gè)不同的平面。下列四個(gè)命題正確的是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知三條不重合的直線m,n,l 和兩個(gè)不重合的平面α,β ,下列命題正確的是:( )
A.若m//n,n α,則m//α |
B.若α⊥β, α β="m," n⊥m ,則n⊥α. |
C.若l⊥n ,m⊥n,則l//m |
D.若l⊥α,m⊥β, 且l⊥m ,則α⊥β |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知

為兩條不同直線,

為兩個(gè)不同平面,給出下列命題:
①

②

③

④

其中的正確命題序號(hào)( )
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