Question

已知雙曲線x2-

1

2

y2=1，過B（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于P，Q兩點，且B是線段PQ的中點，這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：先假設存在這樣的直線l，分類討論：斜率存在和斜率不存在設出直線l的方程，①當k存在時，與雙曲線方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，可求k的范圍，再由M是線段AB的中點，則

x1+x2

2

=1，可求k，看是否矛盾，②當k不存在時，直線經過點M但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在，綜合可求

解答：解：設過點B（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
（1）當k存在時有

y=k(x-1)+1 x2 - y2 2 =1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，
∴k＜

3

2

設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

又B（1，1）為線段AB的中點
∴

x1+x2

2

=1 即

k-k2

2-k2

=1
∴k=2
當k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當k=2時，方程（1）無實數解
故過點m（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且M為線段AB中點的直線不存在．
（2）當x=1時，直線經過點M但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在

點評：本題考察了直線與雙曲線的位置關系，特別是相交時的中點弦問題，方程的根與系數關系的應用，及利用方程思想判斷直線與曲線位置關系