Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差d＜0，若存在正整數(shù)m（m≥3），使得a_m=S_m，則當(dāng)n＞m（n∈N^*）時（　　）

• A、S_n＞a_n
• B、S_n≥a_n
• C、S_n＜a_n
• D、S_n≤a_n

Answer 1

分析：本題考查的知識點是等差數(shù)列的前n項和，及等差數(shù)列的性質(zhì)，由等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差d＜0，及存在正整數(shù)m（m≥3），使得a_m=S_m，我們可以構(gòu)造一個方程組，判斷出基本項（首項與公差）的關(guān)系，然后代入n＞m，利用作差法即可判斷出S_n與a_n的關(guān)系．

解答：解：∵a_m=S_m，a1+(m-1)d=ma1+

m(m-1)

2

d，
∴（2m-2）a₁=（m-1）（2-m）d
∴a1=(1-

m

2

)d，
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=n(1-

m

2

)d+

n(n-1)

2

d=

nd

2

(1-m+n)，
又an=a1+(n-1)d=(n-

m

2

)d，
∴an-Sn=

d

2

(m-n)(n-1)
又∵m≥3，m＜n，d＜0，
∴

d

2

(m-n)(n-1)＞0，
故a_n＞S_n．

點評：解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項公式及前n項和公式，然后代入進行運算．