Question

已知數(shù)列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想a_n的通項公式，并給予證明．

Answer 1

（1）n=1時 a₂=2×1+1=3
n=2時 a₃=2×3+1=7
n=3時 a₄=2×7+1=15
（2）猜想a_n=2ⁿ-1．證明
①當n=1時，a₁=2¹-1=1，命題成立．
②假設n=k（k≥1）時命題成立．即 a_k=2^k-1．
那么n=k+1時，a_k+1=2×a_k+1=2×（2^k-1）+1=2^k+1-1．命題對n=k+1也成立
綜上①②可知命題對一切自然數(shù)都成立．