Question

已知函數(shù)f（x）=|lg（x-1）|-（）^x有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，則有（ ）
A．x₁x₂＜1
B．x₁x₂＜x₁+x₂
C．x₁x₂=x₁+x₂
D．x₁x₂＞x₁+x₂

Answer 1

【答案】分析：先將f（x）=|lg（x-1）|-（）^x有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=|lg（x-1）|與y=3^-x有兩個(gè)交點(diǎn)，然后在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象得到零點(diǎn)在（1，2）和（2，+∞）內(nèi)，即可得到-3^-x₁=lgx₁和3^-x₂=lg x₂，然后兩式相加即可求得x₁x₂的范圍．
解答：解：f（x）=|lg（x-1）|-（）^x有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂
即y=|lg（x-1）|與y=3^-x有兩個(gè)交點(diǎn)
由題意x＞0，分別畫y=3^-x和y=|lg（x-1）|的圖象
發(fā)現(xiàn)在（1，2）和（2，+∞）有兩個(gè)交點(diǎn)
不妨設(shè) x₁在（1，2）里 x₂在（2，+∞）里
那么 在（1，2）上有 3^-x₁=-lg（x₁-1）即-3^-x₁=lg（x₁-1）…①
在（2，+∞）有3^-x₂=lg （x₂-1）…②
①②相加有3^-x₂-3^-x₁=lg（x₁-1）（x₂-1），
∵x₂＞x₁，∴3^-x₂＜3^-x₁ 即3^-x₂-3^-x₁＜0
∴l(xiāng)g（x₁-1）（x₂-1）＜0
∴0＜（x₁-1）（x₂-1）＜1
∴x₁x₂＜x₁+x₂
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法--轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題．函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，等價(jià)于對(duì)應(yīng)方程的根．