精英家教網(wǎng)設(shè)a＞0，b＞0，稱(chēng)
2aba+b
為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，且AC=a，CB=b，O為AB中點(diǎn)，以AB為直徑做半圓．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)交半圓于D．連接OD，AD，BD．過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線(xiàn)，垂足為E．則圖中線(xiàn)段OD的長(zhǎng)度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線(xiàn)段
 
的長(zhǎng)度是a，b的幾何平均數(shù)，線(xiàn)段
 
的長(zhǎng)度是a，b的調(diào)和平均數(shù)．
分析：在直角三角形中，由DC為高，根據(jù)射影定理可得CD2=AC•CB，變形兩邊開(kāi)方，得到CD長(zhǎng)度為a，b的幾何平均數(shù)；根據(jù)a，b與OC之間的關(guān)系，表示出OC的長(zhǎng)度，根據(jù)直角三角形OCE和直角三角形CDE之間邊的關(guān)系得到CE的長(zhǎng)，得到OE進(jìn)而ED，得到結(jié)果．
解答：解：在Rt△ADB中DC為高，則由射影定理可得CD2=AC•CB，
∴CD=
ab
，即CD長(zhǎng)度為a，b的幾何平均數(shù)，
將OC=a-
a+b
2
=
a-b
2
，CD=
ab
，OD=
a+b
2
代入OD•CE=OC•CD
可得CE=
a-b
a+b
ab

故OE=
OC2-CE2
=
(a-b)2
2(a+b)
，
∴ED=OD-OE=
2ab
a+b
，
∴DE的長(zhǎng)度為a，b的調(diào)和平均數(shù)．
故選CD；DE
點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)新定義問(wèn)題，解題過(guò)程中主要應(yīng)用直角三角形邊之間的比例關(guān)系，得到比例式，本題是一個(gè)平面幾何與代數(shù)中的平均數(shù)結(jié)合的問(wèn)題，是一個(gè)綜合題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a＞0，b＞0，稱(chēng)
2aba+b
為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，且AC=a，CB=b，O為AB中點(diǎn)，以AB為直徑做半圓．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)交半圓于D．連接OD，AD，BD．過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線(xiàn)，垂足為E．則圖中線(xiàn)段OD的長(zhǎng)度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度是a，b的幾何平均數(shù)，那么a，b的調(diào)和平均數(shù)是線(xiàn)段
DE
DE
的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若給定橢圓C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和點(diǎn)N（x0，y0），則稱(chēng)直線(xiàn)l：ax0x+by0y=1為橢圓C的“伴隨直線(xiàn)”．
（1）若N（x0，y0）在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線(xiàn)”的位置關(guān)系（當(dāng)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)時(shí)，分別稱(chēng)直線(xiàn)與橢圓相離、相切、相交），并說(shuō)明理由；
（2）命題：“若點(diǎn)N（x0，y0）在橢圓C的外部，則直線(xiàn)l與橢圓C必相交．”寫(xiě)出這個(gè)命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說(shuō)明理由；
（3）若N（x0，y0）在橢圓C的內(nèi)部，過(guò)N點(diǎn)任意作一條直線(xiàn)，交橢圓C于A、B，交l于M點(diǎn)（異于A、B），設(shè)
MA
=λ1
AN
，
MB
=λ2
BN
，問(wèn)λ1+λ2是否為定值？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）當(dāng)a≠b時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，稱(chēng)f（x）為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．
（i）判斷f（1），f（），f（）是否成等比數(shù)列，并證明f（）≤f（）；
（ii）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱(chēng)為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)a＞0，b＞0，稱(chēng)
2ab
a+b
為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，且AC=a，CB=b，O為AB中點(diǎn)，以AB為直徑做半圓．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)交半圓于D．連接OD，AD，BD．過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線(xiàn)，垂足為E．則圖中線(xiàn)段OD的長(zhǎng)度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度是a，b的幾何平均數(shù)，那么a，b的調(diào)和平均數(shù)是線(xiàn)段______的長(zhǎng)度．
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