精英家教網(wǎng)設(shè)a＞0，b＞0，稱
2aba+b
為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段AB上的點，且AC=a，CB=b，O為AB中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連接OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段
 
的長度是a，b的幾何平均數(shù)，線段
 
的長度是a，b的調(diào)和平均數(shù)．
分析：在直角三角形中，由DC為高，根據(jù)射影定理可得CD2=AC•CB，變形兩邊開方，得到CD長度為a，b的幾何平均數(shù)；根據(jù)a，b與OC之間的關(guān)系，表示出OC的長度，根據(jù)直角三角形OCE和直角三角形CDE之間邊的關(guān)系得到CE的長，得到OE進而ED，得到結(jié)果．
解答：解：在Rt△ADB中DC為高，則由射影定理可得CD2=AC•CB，
∴CD=
ab
，即CD長度為a，b的幾何平均數(shù)，
將OC=a-
a+b
2
=
a-b
2
，CD=
ab
，OD=
a+b
2
代入OD•CE=OC•CD
可得CE=
a-b
a+b
ab

故OE=
OC2-CE2
=
(a-b)2
2(a+b)
，
∴ED=OD-OE=
2ab
a+b
，
∴DE的長度為a，b的調(diào)和平均數(shù)．
故選CD；DE
點評：本題是一個新定義問題，解題過程中主要應(yīng)用直角三角形邊之間的比例關(guān)系，得到比例式，本題是一個平面幾何與代數(shù)中的平均數(shù)結(jié)合的問題，是一個綜合題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，b＞0，稱
2aba+b
為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段AB上的點，且AC=a，CB=b，O為AB中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連接OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段CD的長度是a，b的幾何平均數(shù)，那么a，b的調(diào)和平均數(shù)是線段
DE
DE
的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若給定橢圓C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和點N（x0，y0），則稱直線l：ax0x+by0y=1為橢圓C的“伴隨直線”．
（1）若N（x0，y0）在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關(guān)系（當(dāng)直線與橢圓的交點個數(shù)為0個、1個、2個時，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交），并說明理由；
（2）命題：“若點N（x0，y0）在橢圓C的外部，則直線l與橢圓C必相交．”寫出這個命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；
（3）若N（x0，y0）在橢圓C的內(nèi)部，過N點任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交l于M點（異于A、B），設(shè)
MA
=λ1
AN
，
MB
=λ2
BN
，問λ1+λ2是否為定值？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）當(dāng)a≠b時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，稱f（x）為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．
（i）判斷f（1），f（），f（）是否成等比數(shù)列，并證明f（）≤f（）；
（ii）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)a＞0，b＞0，稱
2ab
a+b
為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段AB上的點，且AC=a，CB=b，O為AB中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連接OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段CD的長度是a，b的幾何平均數(shù)，那么a，b的調(diào)和平均數(shù)是線段______的長度．
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