Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x，
（Ⅰ）若x∈[-2，a]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若存在實數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）的圖象與性質(zhì)，討論a的取值，從而確定f（x）在[-2，a]上的增減性，求出f（x）的值域．
（Ⅱ）把f（x+t）≤3x轉(zhuǎn)化為（x+t）²+2（x+t）≤3x，即u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，在x∈[1，m]恒小于0問題，考查u（x）的圖象與性質(zhì)，求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2x的圖象是拋物線，開口向上，對稱軸是x=-1，
∴當(dāng)-2＜a≤-1時，f（x）在[-2，a]上是減函數(shù)，
f(x)max=f(-2)=0，f(x)min=f(a)=a2+2a，
∴此時f（x）的值域為：[a²+2a，0]；
當(dāng)-1＜a≤0時，f（x）在[-2，a]上先減后增，
f（x）_max=f（-2）=0，f（x）_min=f（-1）=-1，
∴此時f（x）的值域為：[-1，0]；
當(dāng)a＞0時，f（x）在[-2，a]上先減后增，
f(x)max=f(a)=a2+2a，f(x)min=f(-1)=-1，
∴此時f（x）的值域為：[-1，a²+2a]．
（Ⅱ）若存在實數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，
即（x+t）²+2（x+t）≤3x，
∴x²+（2t-1）x+t²+2t≤0；
設(shè)u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，其中x∈[1，m]
∵u（x）的圖象是拋物線，開口向上，
∴u（x）_max=max{u（1），u（m）}；
由u（x）≤0恒成立知

u(1)≤0 u(m)≤0

；
化簡得

-4≤t≤0 t2+2(1+m)t+m2-m≤0

；                      v 
令g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，
則原題轉(zhuǎn)化為存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0；
即當(dāng)t∈[-4，0]時，g（t）_min≤0；
∵m＞1時，g（t）的對稱軸是t=-1-m＜-2，
①當(dāng)-1-m＜-4，即m＞3時，g（t）_min=g（-4），
∴

m＞3 16-8(m+1)+m2-m≤0

，
解得3＜m≤8；
②當(dāng)-4≤-1-m＜-2，即1＜≤3時，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m，
∴

1＜m≤3 -1-3m≤0

，
解得1＜m≤3；
綜上，m的取值范圍是（1，8]．
解法二，由

u(1)≤0 m2+(2t-1)m+t2+2t≤0有解

，
∴m≤

1-2t+ 1-12t

2

，
即(

1-2t+ 1-12t

2

)max=8，1＜m≤8；
即得m的取值范圍（1，8]．

點評：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的應(yīng)用，解題時應(yīng)討論對稱軸在區(qū)間內(nèi)？在區(qū)間左側(cè)？區(qū)間右側(cè)？從而確定函數(shù)的最值．