Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別為CC₁、AD的中點，F(xiàn)為BB₁上的點，且B₁F=3BF
（I）證明：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若AC=2

2

，CC₁=2，BC=

2

，∠ACB=

π

3

，求三棱錐F-ABD的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）設AC的中點為O，連結EO，OB，由已知條件推導出四邊形EFBO是平行四邊形，由此能夠證明EF∥平面ABC．
（II）由已知結合余弦定理可得AB=

6

，進而利用勾股定理的逆定理可得AB⊥BC，進而得到AB⊥平面BFD，利用等積法可得V_F-ABD=V_A-BFD．

解答： 證明：（I）設AC的中點為O，連結EO，OB，
由題意知EO∥CC₁，且EO=

1

4

CC₁，BF∥CC₁，且BF=

1

4

CC₁，
∴EO∥BF，且EO=BF，
∴四邊形EFBO是平行四邊形，
∴EF∥OB，
∵EF?平面ABC，BO?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
解：（Ⅱ）由AC=2

2

，CC₁=2，BC=

2

，∠ACB=

π

3

，
∴由AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB=8+2-2×2

2

×

2

×

1

2

=6，
∴AB=

6

，
由AB²+BC²=AC²，得AB⊥BC，
∵AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BFD，
∴VF-ABD=VA-BFD=

1

3

×(

1

2

×

2

×

1

2

)×

6

=

3

6

．

點評：題考查直線與平面平行的證明，考查棱柱體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．