Question

9．某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后，數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計(jì)了本班學(xué)生對(duì)選做題的選做情況，得到如表數(shù)據(jù)：（單位：人）

	坐標(biāo)系與參數(shù)方程	不等式選講	合計(jì)
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
合計(jì)	30	20	50

（I）請(qǐng)完成題中的2×2列聯(lián)表；并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷，是否有超過(guò)97.5%的把握認(rèn)為選做“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”或“不等式選講”與性別有關(guān)？
（II）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己解答一道“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”所用的時(shí)間為區(qū)間[5，7]內(nèi)一個(gè)隨機(jī)值（單位：分鐘），解答一道“不等式選講”所用的時(shí)間為區(qū)間[6，8]內(nèi)一個(gè)隨機(jī)值（單位：分鐘），試求甲在考試中選做“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”比選做“不等式選講”所用時(shí)間更長(zhǎng)的概率．
附表及公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （I）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成題中的2×2列聯(lián)表；求出K²，即可得出結(jié)論；
（II）以面積為測(cè)度，即可求甲在考試中選做“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”比選做“不等式選講”所用時(shí)間更長(zhǎng)的概率．

解答 解：（I）2×2列聯(lián)表如下

	坐標(biāo)系與參數(shù)方程	不等式選講	合計(jì)
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
合計(jì)	30	20	50

------------------------------------------（3分）
由表中數(shù)據(jù)得${K^2}=\frac{{50×{{（{22×12-8×8}）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$，
查表可知，有超過(guò)97.5%的把握認(rèn)為選做“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”或“不等式選講”與性別有關(guān)；（　　）6分）
（II）設(shè)甲解答一道“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”需要x分鐘，
解答一道“不等式選講”需要y分鐘，-------------------------------------------------------------（7分）
記“甲在考試中選做‘坐標(biāo)系與參數(shù)方程’比選做‘不等式選講’所用時(shí)間更長(zhǎng)”為事件A，
則總的基本事件構(gòu)成區(qū)域$\left\{{\left.{（{x，y}）}\right|\left\{{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}}\right.}\right\}$，--------------------------------------------------（9分）
而滿足事件A的基本事件構(gòu)成區(qū)域?yàn)閧（x，y）|x＞y，5≤x≤7，6≤y≤8}，----------（10分）
即圖中陰影部分，由幾何概型知$P（A）=\frac{{\frac{1}{2}×1×1}}{2×2}=\frac{1}{8}$，

即甲在考試中選做“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”比選做“不等式選講”所用時(shí)間更長(zhǎng)的概率為$\frac{1}{8}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查幾何概型，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．